费马数的猜想
1640年，在数论领域留下不可磨灭足迹的费马思考了一个问题：式子 的值是否一定为素数。当 n取0、1、2、3、4时，这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537，费马发现这五个数都是素数。由此，费马提出一个猜想：形如 的数一定为素数。在给朋友的一封信中，费马写道：“我已经发现形如 的数永远为素数。很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的。”费马同时坦白承认，他自己未能找到一个完全的证明。
费马所研究的 这种具有美妙形式的数，后人称之为费马数，并用Fn 表示。费马当时的猜想相当于说：所有费马数都一定是素数。费马是正确的吗？
进一步验证费马的猜想并不容易。因为随着n的增大， Fn 迅速增大。比如对后人来说第一个需要检验的F5 =4294967297已经是一个十位数了。非常可能的是，由于这一数太大，所以费马在得出自己枣胡的猜想时并没有对它进行验证。那么，它到底是否如同费马所相信的那样是一个素数呢？
1729年12月1日，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在写胡型给欧拉的一封信中问道：“费马认为所有裤岩猜形如 的数都是素数，你知道这个问题吗？他说他没能作出证明。据我所知，也没有其他任何人对这个问题作出过证明。”
这个问题吸引了欧拉。1732年，年仅25岁的欧拉在费马死后67年得出F5 =641×6700417，其中641=5×27+1 这一结果意味着F5 是一个合数，因此费马的猜想是错的。
在对费马数的研究上，费马这位伟大的数论天才过分看重自己的直觉，轻率地做出了他一生唯一一次错误猜测。更为不幸的是，研究的进展表明费马不但是错的，而且非常可能是大错特错了。
此后人们对更多的费马数进行了研究。随着电子计算机的发展，计算机成为数学家研究费马数的有力工具。但即使如此，在所知的费马数中竟然没有再添加一个费马素数。迄今为止，费马素数除了被费马本人所证实的那五个外竟然没有再发现一个！因此人们开始猜想：在所有的费马数中，除了前五个是素数外，其他的都是合数。如果这一结论被证实，那么对于费马的草率猜想来说，恐怕不会有更为糟糕的结局了。
费马合数都是可以用佩尔方程表示，费马素数不能用佩尔方程表示，参见百度文库《费马合数与佩尔方程》。
费马定理中第六个费马数是多少
法国数学家费马于1640年提出了以下猜想: 形如2^2^n+1(n属于N)的数叫费马数。可以发现 F0=2^2^0+1=3, F1=2^2^1+1=5, F2=2^2^2+1=17, F3=2^2^3+1=257,F4=2^2^4+1=65537, F5=2^2^5+1=4294967297,前5个是质数,因为第6个数实在太大了,费马认为是质数。由此提出(费马没给出证明)形如Fn=2^2^n+1 的数都是质数的猜想。 1732年,欧拉算出F5=641*6700417,不是质数,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式以后,人们又陆续找到了不少反例,如n=6时,F6=2^2^6+1=274177*67280421310721,不是质数。至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.甚至有人猜想：费马数当N4时全是合数! 时至今日，人们只发现了五个费马数为素数，即F0= 3， F1= 5 ， F2=17 ， F3=257 ， F4=65537，下列46个费马数Fn=f(n)当 n= 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13，14，15， 16， 18， 19， 21，23， 25， 26， 27， 30， 32， 36， 38， 39， 42，52，55， 58， 63， 73， 77， 81，117，125，144， 150， 207， 226， 228， 250， 267， 268， 284， 316， 452， 1945时皆为合数。 早已经有人证明，费马数的因数必然是2ˇ（n+2)k+1形，注：（n+2)是右上标。例如n=5时，4294967297=(128x5+1)x(128x52347+1).其中128就是2的7次方。即5+2次方。 实际上几百年来,数学家们一直在寻找这样的一个公式,一个能求出所有质数的公式;但直到现在,谁也未能找到这样一个公式,而且谁也未能找到证据,说这样的公式就一定不存在;这样的公式存不存在,也就成了一个著名的数学难题.。参见百度百科“素数普遍公式”和“孪生素数普遍公式”。那里有可以构造一切素数的普遍公式呢？ 虽然费马数作为一个关于指数公式的尝试失败了,但有意思的是,1801年数学家高斯证明:如果费马数K为质数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形. 二 所谓梅森素数,是以17世纪法国修道士M.梅森的名字命名的。梅森在1644年出版的著作物理数学随感的序言中宣称,对于n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257,数Mn=2 n -1是素数,而对于其他所有小于257的数n,Mn是合数。但是,这里出现了5个错误,M67,M257不是素数,而M61,M89,M107是素数。显然,要使Mn是素数,n本身必须是素数,但是反过来,n是素数,Mn却不一定是素数,例如虽然11是素数,可是M11=2047=23X89是合数。 时至今日,人类认识找到了42个梅森素数，前18个梅森素数是n=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127 ,521,607,1279,2203,2281,3217时的Mn=2 n -1。下表列出了从1961年以来所发现的全部梅森素数（摘自 ） ： 序号 素数 位数 序号 素数 位数 19 2 4253 -1 1281 20 2 4423 -1 1332 21 2 9689 -1 2917 22 2 9941 -1 2993 23 2 11213 -1 3376 24 2 19937 -1 6002 25 2 21701 -1 6533 26 2 23209 -1 6987 27 2 44497 -1 13395 28 2 86243 -1 25962 29 2 110503 -1 33265 30 2 132049 -1 39751 31 2 216091 -1 65050 32 2 756839 -1 227832 33 2 859433 -1 258716 34 2 1257787 -1 378632 35 2 1398269 -1 420921 36 2 2976221 -1 895932 37 2 3021377 -1 909526 38 2 6972593 -1 2098960 39 2 13466917 -1 4053946 40 2 20996011 -1 6320430 41 2 24036583 -1 7235733 42 2 25964951 -1 7816230 三 费马数与新的费马素数 1.我们研究发现有费马素数新的定理：若2^n+1为素数，则2^2^n + 1必为素数( n属于N)。 继承弘扬创新古中华传统文化思想，我们研究八卦数论发现当年费尔马猜想整数 Fn=2^2^n + 1 (n属于N) 是素数缺少一个相对的题设条件“2^n +1 （n属于N）是素数”。 单从费马数本身去研究费马数，是无法发现(或判定)存在无穷多的费马数是素数与素数成链及链系无穷的。换言之，不了解2^n 的幂的四象性是历史上的不足。本定理所揭示的数学性质正是整数的积幂四象八卦性质的贴切体现。 中外古典哲学称“天不变，道亦不变”，“一生二，二生三，三生万物”，“三是万物的形体”。依据费马素数新定理“若2^n +1为素数，则2^2^n+1必为素数（n属于N）”，有 1) 以素数2为链首的素数有 若2^0 + 1是素数，则2^2^0+1必为素数，即素数3 ； 若2^1 + 1是素数，则2^2^1+1必为素数，即素数5； 若2^2 + 1是素数，则2^2^2+1必为素数，即素数17； 若2^4 + 1 是素数，则2^2^4+1必为素数，即素数65537； 若2^16 + 1 是素数，则2^2^16+1=2^65536 +1必为素数； 若2^65536 +1是素数，则2^2^65536+1必为素数； ……………… 若2^2^…^2^65536+1（指数上的指数有k个2）是素数，则2^2^…^2^2^265536+1（指数上的指数有k+1个2）必为素数。 ……………… 2) 以素数257为链首的素数有 若2^8 +1 是素数，则2^2^8+1必为素数， 即2^256 + 1为素数； 若2^256 +1是素数，则2^2^256+1必为素数； 若2^2^256+1是素数，则2^2^2^256+1必为素数； ……………… 若2^2^…^2^256+1（指数上的指数有k个2）是素数，则2^2^…^2^2^256+1（指数上的指数有k+1个2）必为素数； ……………… 类似的素数链有无穷多个，如上所列举的费马数为素数的整数亦有无穷多个，即存在着无穷大费马数素数。 2．费马数素数链的性质。符合上述素数新定理题设条件与结论的素数具有下述性质： 1) 素数的链索性 2 → 3 → 5 → 17 → 65537 → 2^65536 + 1 →…… 2) 素数成链，链索系无穷 257 → 2^256 + 1 → 2^2^256 + 1→ 2^2^2^256 + 1 …… 又是另一素数链； 3) 同一素数链中，链首素数确定后，后继素数亦具唯一性，且不同链系中的素数是各不相同的。 * 只要有大型计算机如上的素数是可以计算出来的，也许还可以找到更大的新素数！ 3．费马素数新定理的证明 （待续）
费马数的性质
任意两个费马数都互质。
证明如下：设mn, ，而 = = =……= ，所以 整除 。根据辗转相迹友除的原理， ，所以任意两个费马数都互质。
费马数满足以下的递回关系：
其中n ≥ 2。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可此禅以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设 0 ≤ i j 且 Fi 和 Fj 有一个公因子 a 1。那么 a 能把和Fj都整除；则a能整除它们相减的差。因为a 1，这使得a = 2。造成矛盾。因为所有的费马数森州尘显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。
其他性质： Fn的位数D(n,b)可以表示成以b 为基数就是 (参见高斯函数). 除了F1 = 2 + 3以外没有费马数可以表示成两个素数的和。 当p是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的p次方相减的形式。 除了F0和F1，费马数的最后一位是7。 所有费马数（OEIS中的数列A051158）的倒数之和是无理数。
什么是费马数？为什么叫费马数？
叫费马质数或费马素数.法国数学家费马于1640年提出了以下猜想:可以发现F1=2^(2^1)+1=5 F2=2^(2^2)+1=17 F3=2^(2^3)+1=257 F4=2^(2^4)+1=65537F5=2^(2^5)+1=4294967297前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认为是质数.由此提出(费马没给出证明),形如Fn=2^(2^n)+1 的数都是质数的猜想.后来人们就把形如2^(2^n)+1的数叫费马数.1732年,欧拉算出F5=641*6700417,不是质数,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式.以后,人们又陆续找到了不少反例,如n=6时,F6=2^(2^6)+1=274177*67280421310721,不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.甚至败腊有人猜想：费马数N4时，费马数全是合数!实际上几千年来,数学家察裂滑们一直在寻找这样的一个公式,一个能求出所有质数的公式;但直到现在,谁也未能找到这样一个公式,而且谁也未能找到证据,说这样的公式就一定不存在;这样的公式存不存在,也就成了一个著名的数学源数难题.
什么是费马数？
伟大的科学家同样也会犯错误，科学史上这样的事件屡见不鲜。被举为“近代数论之父”、“业余数学家之王”的17世纪法国数学家费马就是其腊码中一个，而且他所犯的错误又恰恰是在他最型局告擅长的数论之中。
1640年，费马发现：设Fn=22n+1，则当n=0，1，2，3，4时，Fn分别给出3，5，17，257，65537，都是素数。卜明这种素数被称为“费马数”。由于F5太大（F5=4294967297）他没有再进行验证就直接猜测：对于一切自然数n，Fn都是素数。不幸的是，他猜错了。1732年欧拉发现：F5=225+1=4294967297=6146700417，偏偏是一个合数！1880年，又有人发现F6=226+1=2747767280421310721，也是合数。
不仅如此，以后陆续发现F7，F8……直到F19以及许多n值很大的Fn全都是合数！虽然Fn的值随着n值的增加，以极快的速度变大（例如1980年求出F8=1238926361552897一个62位数），目前能判断它是素数还是合数的也只有几十个，但人们惊奇地发现：除费马当年给出的5个外，至今尚未发现新的素数。这一结果使人们反过来猜测：是否只有有限个费马数？是否除费马给出的5个素数外，再也没有了？可惜的是，这个问题至今还悬而未决，成了数学中的一个谜。
费马质数从第五位开始全是合数吗？
费马数从第五位开始，是不是明薯都是合数，现在还没有定论，现在只是知道了前五个是素激肢者数，但没有饥汪办法证明后面的全部是合数。
